¿Debo pedir autorización a mis clientes para ceder su información a Besepa?

Si, pero no solo con Besepa, sino con cualquier tipo de empresa, servicio, institución, al que le vayas a ceder su información para procesar sus pagos, realizar acciones de marketing, etc.

Ya sea tu negocio online u offline, debería incluir en tu política de privacidad -si no lo tienes ya- una cláusula similar a esta:

La empresa X confía en ciertos proveedores externos que nos ayudan a proporcionar, mejorar, promocionar y proteger nuestros Servicios. Estos proveedores podrán acceder a tu información exclusivamente para realizar las tareas que les sean encomendadas en nuestro nombre y de forma acorde con nuestra Política de privacidad.

O algo más específico para la gestión de pagos:

Los servicios de procesamiento de pagos nos permiten gestionar el cobro vía tarjeta de crédito, adeudo directo u otro medio. Para mejorar nuestro servicio y mejorar nuestra seguridad, cedemos la información estrictamente necesaria para ejecutar dichas operaciones a intermediarios financieros que las gestionan por nosotros. Esta cesión no les da derecho a utilizar la información que les facilitemos para cualquier propósito que no sea el encomendado.

Por supuesto en Besepa nos tomamos la seguridad de la información que gestionamos con total seriedad y estamos registrados en la agencia de protección de datos española así como tomamos todas las medidas de seguridad a nuestro alcance para salvaguardar dicha información.

Así mismo, nosotros no nos ponemos nunca en contacto directo con los clientes de nuestros clientes a no ser que nuestros clientes nos pidan excepcionalmente que lo hagamos.